MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA
Consideremos una partícula de masa m que se mueve con
respecto a O con una velocidad v. Definimos una nueva magnitud
vectorial, llamada momento angular de la partícula con respecto a O (L):
Sus unidades son: m2kg/s. El vector L es en cada
instante perpendicular al plano formado por el vector posición y el vector
velocidad; cuando la trayectoria es plana y el origen está contenido en el
plano de la misma, L es perpendicular a dicho plano.
MOMENTO ANGULAR DE UN SOLIDO RÍGIDO
Comparando la expresión del momento angular de un sólido rígido con las definiciones de los momentos y productos de inercia resulta la ecuación:
Observando la expresión anterior vemos que la misma coincide con el desarrollo del siguiente producto matricial:
Este resultado nos permite escribir la expresión:
Donde I es el tensor de inercia del sólido.
CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA
Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de
- Un extremo
- De la segunda masa
- Del centro de masa
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El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es
IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
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El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es
IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
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El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es
IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
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En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA eIB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.
La fórmula que tenemos que aplicar es
I=IC+Md2
- IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa
- I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior
- M es la masa total del sistema
- d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA PARTICULA
Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.
El momento de inercia de un sólido respecto a un eje se define como la suma, para todas las partículas del sólido,
siendo Ri la distancia del punto donde se encuentra la partícula i al eje respecto del cual se calcula el momento de inercia.
El eje se define dando un punto por el que pase, 
y un vector director 
en la dirección de la recta. La distancia de un punto cualquiera al eje puede hallarse como la proyección ortogonal de la posición relativa
y un vector director en la dirección de la recta. La distancia de un punto cualquiera al eje puede hallarse como la proyección ortogonal de la posición relativa
Hay que destacar que el punto no es el origen de coordenadas o un punto arbitrario, sino que debe pertenecer necesariamente al eje respecto al cual se calcula la distancia. Podemos elegir cualquier punto de este eje, pero no una fuera de él.
no es el origen de coordenadas o un punto arbitrario, sino que debe pertenecer necesariamente al eje respecto al cual se calcula la distancia. Podemos elegir cualquier punto de este eje, pero no una fuera de él.Eje por dos caras opuestas
En el primer caso, tenemos un eje que atraviesa dos caras opuestas por su punto central. Este eje pasa también por el centro del cubo.
La distancia de las ocho masas al eje es la misma en todos los casos y vale
con lo que el momento de inercia del sólido respecto a este eje vale
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE LA ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO
El momento
angular de un sólido rígido que rota con respecto a uno de sus ejes
principales de inercia (que por el momento supondremos fijo con respecto a un
sistema de referencia inercial) viene dado por:
Donde I es el momento
de inercia del sólido y ω es su velocidad angular.
La variación
del momento angular de un sistema de partículas (y, por tanto, de un
sólido) es igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre el
sistema:
Igualando ambas expresiones,
ENERGÍA DE ROTACIÓN
La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada este la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitara más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.
La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para: turbinas, generadores, neumáticos y ruedas, ejes, hélices.
TORQUE
Torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.
En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación, muchos prefieren usar el nombre torque y no momento, porque este último lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza.
Para explicar gráficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento.
Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicación respecto a la línea de las bisagras.
Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es, matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro.
Expresada como ecuación, la fórmula es
El momento
angular de un sólido rígido que rota con respecto a uno de sus ejes
principales de inercia (que por el momento supondremos fijo con respecto a un
sistema de referencia inercial) viene dado por:
Donde I es el momento
de inercia del sólido y ω es su velocidad angular.
La variación del estado de rotación de un sólido
viene determinada por la variación de su velocidad angular por lo que, si
queremos describir el movimiento de rotación debemos encontrar una ecuación que
nos permita calcular la aceleración angulardel mismo.
Puesto que en la expresión del momento angular aparece la
velocidad angular, derivándola obtendremos la aceleración angular:
La variación
del momento angular de un sistema de partículas (y, por tanto, de un
sólido) es igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre el
sistema:
Igualando ambas expresiones,
ENERGÍA DE ROTACIÓN
La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada este la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitara más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.
La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para: turbinas, generadores, neumáticos y ruedas, ejes, hélices.
TORQUE
Torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.
En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación, muchos prefieren usar el nombre torque y no momento, porque este último lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza.
Para explicar gráficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento.
Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicación respecto a la línea de las bisagras.
Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es, matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro.
Expresada como ecuación, la fórmula es
M = F • d
Cuando se ejerce una fuerza F en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto A. El momento de la fuerza F vale M = F • d
donde M es momento o torque
F = fuerza aplicada
d = distancia al eje de giro
El torque se expresa en unidades de fuerza-distancia, se mide comúnmente en Newton metro (Nm).
Si en la figura de la izquierda la fuerza F vale 15 N y la distancia d mide 8 m, el momento de la fuerza vale:
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| Cuando se ejerce una fuerza F en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto A. El momento de la fuerza F vale M = F • d |
donde M es momento o torque
F = fuerza aplicada
d = distancia al eje de giro
El torque se expresa en unidades de fuerza-distancia, se mide comúnmente en Newton metro (Nm).
Si en la figura de la izquierda la fuerza F vale 15 N y la distancia d mide 8 m, el momento de la fuerza vale:
M = F • d = 15 N • 8 m = 120 Nm
La distancia d recibe el nombre de “brazo de la fuerza”.
Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más fácil es apretar o aflojar las tuercas.
Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente.
Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande, entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.
RELACIÓN DINÁMICA LINEAL Y DINÁMICA ROTACIONAL
La distancia d recibe el nombre de “brazo de la fuerza”.
Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más fácil es apretar o aflojar las tuercas.
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| Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente. | |
Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande, entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.
RELACIÓN DINÁMICA LINEAL Y DINÁMICA ROTACIONAL
1. Movimiento de rotación- Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si cada punto del cuerpo se mueve en trayectoria circular. Los centros deestos círculos deben estar sobre una línea recta común llamada eje de rotación (eje z de la figura).
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